К вопросу о линеаризации нелинейных связей в регрессионных моделях оценки стоимости недвижимости

Обновлено 14.01.2026 07:28

Статья посвящена проблеме конструирования математических моделей оценки рыночной стоимости объектов недвижимости методами массовой и индивидуальной оценок с использованием регрессионного анализа. Автором рассмотрен использованный в практике кадастровой оценки города Санкт-Петербурга способ учета нелинейности связей в моделях посредством замены переменных известными или заранее сконструированными аналитически заданными параметрическими функциями этих переменных, повторяющими реальные зависимости цен от ценообразующих факторов. На числовом примере показано применение рекомендаций по конструированию аппроксимирующих функций для решения задачи оценки стоимости земельного участка.

Ключевые слова: регрессионные модели для оценки стоимости недвижимости, конструирование аппроксимирующих функций для оценки, массовая и индивидуальная оценки с использованием регрессионного анализа, учет нелинейности связей посредством замены переменных.

This article examines the problem of constructing mathematical models for assessing the market value of real estate using mass and individual appraisal methods, utilizing regression analysis. The author examines a method used in cadastral valuation in St. Petersburg for accounting for nonlinear relationships in models by replacing variables with known or pre-defined, analytically defined parametric functions of these variables, which replicate the actual price dependence on pricing factors. A numerical example demonstrates the application of recommendations for constructing approximating functions to the problem of land valuation.

Key words: Regression models for real estate valuation, construction of approximating functions for valuation, mass and individual valuation using regression analysis, accounting for nonlinear relationships through variable substitution.

В последнее время в оценочной практике для оценки объектов недвижимости все чаще стала использоваться регрессия (подробнее см. [1]). Однако, как справедливо отмечено в работе [2], широкому ее применению мешает часто встречаемый нелинейный характер влияния объясняющих переменных на моделируемую оценщиком зависимую величину.

Дело в том, что основным математическим аппаратом, который применяется для создания регрессионных моделей, является широко известный метод наименьших квадратов (далее - МНК). Как правило, применение этого метода позволяет получать хорошие результаты лишь в случае линейных зависимостей результирующей (моделируемой) переменной с независимыми переменными - ценообразующими факторами или факторами стоимости. Если же связи зависимой с независимыми переменными нелинейные, то для создания регрессионной модели необходимо выполнить ее предварительную линеаризацию, например посредством замены одних независимых переменных на другие, или использовать иные, например численные, методы.

Нелинейные модели делятся на два типа:

- нелинейные по коэффициентам внутренне линейные модели;

- нелинейные по коэффициентам внутренне нелинейные модели.

Нелинейные по коэффициентам внутренне линейные модели с помощью соответствующих преобразований могут быть линеаризованы, то есть приведены к линейному виду, что позволяет привлечь к их созданию МНК.

Для создания нелинейных по коэффициентам внутренне нелинейных моделей, например гибридных моделей, сочетающих аддитивные и мультипликативные составляющие, используются другие методы, например метод адаптивной оценки (см. [3]) или метод подбора параметров (коэффициентов), минимизирующих целевую функцию - сумму квадратов отклонений вычисленных и реальных значений зависимой переменной.

На практике в процессе кадастровой оценки недвижимого имущества наиболее часто используют нелинейные внутренне линейные по коэффициентам модели. Эти модели могут быть как аддитивными, так и мультипликативными.

Рассмотрим их подробнее.

В общем случае нелинейную внутренне линейную по коэффициентам многофакторную аддитивную регрессионную модель на теоретическом уровне можно представить следующим образом:

V = a₀ + a₁f₁(x₁) + a₂f₂(x₂) + ... + a_kf_k(x_k) + u, (1)

где V - зависимая (объясняемая) переменная;

a_i - коэффициенты регрессии, причем i = 0... k, где k - количество независимых (объясняющих) переменных (ценообразующих факторов) (a_i в общем случае неизвестны, можно получить лишь их оценки);

f_i(x_i) (i = 1... k) - известные (см. табл. 1) или сконструированные в процессе построения регрессионной модели зависимости результирующей переменной от i-й независимой переменной;

x_i (i = 1... k) - независимые (объясняющие) переменные (ценообразующие факторы);

u - случайный член.

Во втором столбце таблицы 1 указаны функции, соответствующие перечисленным в первом столбце формам связи, а в третьем приведены системы уравнений, позволяющие определить искомые параметры аппроксимации.

Нелинейную внутренне линейную по коэффициентам мультипликативную регрессионную модель можно записать так:

В такой модели независимые переменные либо служат в качестве показателя степени, либо сами возводятся в степени, затем результаты перемножаются. Случайная составляющая также входит в этот вид моделей мультипликативно. Для оценки коэффициентов мультипликативной модели она преобразуется к аддитивному виду посредством логарифмирования. После логарифмирования (2) получают линейную по логарифмам коэффициентов модель.

Калибровка такой модели, под которой понимается процесс нахождения неизвестных коэффициентов регрессионной модели, осуществляется с использование МНК, в процессе которой получают оценки логарифмов коэффициентов. При этом возврат к модели (2) осуществляется посредством потенцирования значений полученных оценок логарифмов коэффициентов.

Вернемся к регрессионной модели (1) и рассмотрим способ ее калибровки. Калибровка модели (1) выполняется после замены переменных: z_i = f_i(x_i) для i = 1... k. После такой замены получают следующую многофакторную регрессионную модель:

V = a₀ + a₁z₁ + a₂z₂ + ... + a_kz_k + u. (4)

Эта модель является линейной по коэффициентам, ее калибровка выполняется с помощью МНК.

Выборочные данные, используемые для построения модели оценки недвижимого имущества, которые в статистике называют наблюдениями, - это данные о ценах продаж объектов недвижимости или ценах предложений к их продажам в совокупности со значениями ценообразующих факторов (год постройки, материал стен, местоположение и т.д.), сопровождающих параметры совершенной и предполагаемой сделок.

Оценки неизвестных коэффициентов модели (4) a_i (i = 1... k) обозначим символами с "шапочкой" , так что эмпирическое уравнение регрессии по каждому из n наблюдений (j = 1... n) можно записать.:

где - расчетное значение зависимой переменной (оценка стоимости).

Задача МНК состоит в том, чтобы обеспечить минимум целевой функции - суммы квадратов невязок.

Подставим в выражение (6) уравнение (5).

Из уравнения (7) следует, что для решения задачи оценки коэффициентов МНК необходима информация о значениях переменных z_ij и, следовательно, о значениях функций аппроксимации f_i(x_i).

Задача каждой из функций f_i(x) - аппроксимировать тенденцию влияния соответствующего ценообразующего фактора на результирующую переменную на оцениваемом рынке. Практика показывает, что проблема определения функции f_i(x) не является сложной, так как на самом деле форм или тенденций влияния того либо иного фактора стоимости на результирующий показатель немного. Их характерная особенность в том, что в подавляющем большинстве случаев на рынке недвижимости они непрерывны, монотонны, то есть их первая производная в процессе изменения аргумента не меняет знак. Выбор i-й функции f_i(x_i) основан на анализе характера зависимости цены объекта Ц от i-го ценообразующего фактора, которую в простейшем случае можно определить визуально посредством анализа расположения точек на диаграмме рассеивания цен <2> для x_i. Калибровку же функции f_i(x_i) при необходимости можно выполнить, составив соответствующие уравнения (см. табл. 1) либо используя метод адаптивной оценки, посредством подбора ее параметров вручную или автоматизированно с использованием функции MS Excel "Поиск решения".

--------------------------------

<2> Диаграмма рассеивания - математическая диаграмма, изображающая значения двух переменных в виде точек на декартовой плоскости. Диаграмма_рассеяния.

Практика показывает (см. [4, 5]), что хороших результатов можно добиться, если в индивидуальной и массовой оценках недвижимости в качестве функции аппроксимации f(x) использовать, например, двухпараметрическую показательную функцию следующего вида:

f(x) = exp[-(x / R)^N], (8)

где R и N - параметры, определяющие вид и кривизну функции f(x).

Параметр R в выражении (8) определяет местонахождение абсциссы точки перегиба функции f(x) (на рисунке 1 параметр R = 7,5). Знак степени N определяет вид кривой функции - нисходящая или восходящая кривая. По внешнему виду функция f(x) при N > 0 напоминает правую ветвь Гауссовой функции, или "гауссианы", при N < 0 - левую.

Помимо этого, величина степени N определяет степень кривизны функции (чем больше N, тем круче график).

На рисунке 2 также показано влияние изменения параметра N на крутизну графика функции (8), влияние изменения параметра R на положение точки перегиба функции на оси абсцисс при постоянном и превышающем единицу значении степени крутизны (N = 5).

Функции (8) позволяют моделировать изменение искомой зависимости в диапазоне [1, 0]. Если необходимо смоделировать изменение искомой зависимости от 0 до некоторой величины А, то ее можно видоизменить следующим образом:

f(x) = A x exp[-(x / R)^N]. (9)

Для улучшения аппроксимирующих свойств функции (9) можно добавить еще одну степень свободы - параметр R₀, с помощью которого можно двигать функцию по оси абсцисс:

f(x) = A x exp{[-(x - R₀) / R]^N}. (10)

В этом случае параметр R₀, отличный от нуля, позволяет в диапазоне от 0 до R₀ по оси абсцисс обеспечить близкое к постоянному значение функции, которое необходимо, например, при моделировании влияния магистралей разной ширины на результирующий показатель, когда за точку отсчета берется их осевая линия. Такая "площадка" позволяет, например, учитывать влияние магистрали при удалении от линии застройки, а не от осевой линии магистрали, которой обычно магистраль отображается в геоинформационных системах. В этом случае R₀ определяется как расстояние от осевой линии магистрали до красной линии.

Для иллюстрации предлагаемого подхода, используя небольшое количество наблюдений, рассмотрим упрощенный пример оценки земельного участка, приобретаемого для ведения дачного хозяйства, со следующими характеристиками:

- количество соток - 6;

- расстояние до электрички - 550 метров;

- наличие водоема - имеется.

Для построения регрессионной модели были подобраны следующие аналоги (см. табл. 2).

Таблица. Аналоги объекта оценки.

Аналог	Количество соток на участке, x₁	Расстояние до электрички, x₂, м	Наличие водоема, x₃	Цена за сотку, Ц, тыс. р.
А₁	20	330	1 <*>	145
А₂	18	350	1	140
А₃	10	400	1	139
А₄	9	450	1	135
А₅	8	500	1	132
А₆	5	1 000	0	100
А₇	4	1 100	0	90
А₈	3	2 000	0	85

--------------------------------

<*> 1 - есть водоем, 0 - нет водоема.

Оценка земельного участка выполняется с использованием линейных и нелинейных регрессионных моделей.

Оценка объекта с помощью линейной аддитивной регрессионной модели

Регрессионную модель на теоретическом уровне запишем в следующем виде:

V = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + u. (11)

Воспользуемся функцией MS Excel "Регрессия" и получим оценки коэффициентов выбранной модели.

Соответствует следующее эмпирическое уравнение регрессии:

Из уравнения следует, что с увеличением количества соток увеличивается удельная стоимость, с увеличением расстояния до электрички удельная стоимость снижается, и наличие водоема добавляет к цене сотки 30 тысяч рублей, что в принципе не противоречит экономике рыночного ценообразования стоимости земельных участков. Однако, несмотря на высокий коэффициент детерминации, коэффициенты при x₁ и x₂ статистически незначимы (см. выделенные строки в таблице 3). Об этом, в частности, свидетельствуют границы их доверительных интервалов, содержащие нули, как возможные значения этих коэффициентов, что недопустимо.

Оценка объекта с помощью линейной мультипликативной регрессионной модели

Рассмотрим вариант оценки с использованием мультипликативной регрессионной модели:

Для того чтобы оценить коэффициенты этой модели, линеаризуем ее посредством логарифмирования левой и правой частей:

Модель (13) является линейной относительно логарифмов коэффициентов аддитивной моделью. Воспользуемся функцией MS Excel "Регрессия" и получим оценки этой модели.

Для того чтобы получить регрессионное уравнение в виде (12), необходимо потенцировать значения коэффициентов, представлены.

a₀ = exp (4,65723) = 105,3435;

a₁ = exp (0,004463) = 1,0046;

a₂ = exp (-0,00012) = 0,9999;

a₃ = exp (0,25821) = 1,2946.

С учетом такого преобразования уравнение оценки будет выглядеть.

Из уравнения (14) так же, как и в первом случае, следует, что с увеличением количества соток увеличивается удельная стоимость, с увеличением расстояния до электрички удельная стоимость немного снижается и наличие водоема добавляет к цене сотки 29 процентов, что в принципе не противоречит экономике ценообразования стоимости земельных участков.

Однако результаты, полученные с использованием мультипликативной модели, не намного лучше результатов, полученных с использованием мультипликативной модели. У нее, правда, коэффициент детерминации является значимым, но два коэффициента из трех незначимы (см. выделенные строки в таблице 4).

Таким образом, расчеты показывают, что гипотезу о линейности связей результирующей переменной с независимыми переменными подтвердить невозможно и доверия полученным моделям нет. Альтернативной является гипотеза о нелинейности связей результирующей переменной с независимыми переменными в рамках рассматриваемой задачи оценки земельного участка.

Проверим эту гипотезу для обоих типов уравнений.

Оценка объекта с использованием аддитивной нелинейной регрессионной модели

Нелинейную аддитивную трехфакторную модель в общем случае можно представить в виде следующего теоретического уравнения регрессии:

V = a₀ + a₁f₁(x₁) + a₂f₂(x₂) + a₃f₃(x₃) + u. (15)

Модель (15) является нелинейной по переменным, но линейной по коэффициентам. После замены переменных в уравнении (15) на z_i = f_i(x_i) при i = 1... 3 получим линейную модель вида:

V = a₀ + a₁z₁ + a₂z₂ + a₃z₃ + u. (16)

Модель (16) является теоретической трехфакторной линейной моделью, калибровку которой можно выполнить, используя метод МНК. Для решения этой задачи необходимо подобрать функции аппроксимации f_i(x_i) для i = 1... 3.

Используя расположение точек диаграмм рассеяния цены (Ц) для независимых переменных x₁ и x₂, проанализируем возможный вид зависимости результирующей переменной от каждой из этих независимых.

Из данных, представленных на рисунке 5, следует, что зависимости от первой и второй независимых переменных имеют явно выраженный нелинейный характер. Третья переменная не обсуждается, так как она проста для моделирования, поскольку имеет лишь два значения - 0 или 1.

Учитывая расположение точек диаграммы рассеивания для первой переменной, можно предположить, что наиболее подходящим уравнением для ее аппроксимации будет функция (5), для второй переменной - гипербола y = bx^-1, для третьей - бинарная функция.

Из визуального анализа точек диаграммы рассеивания цены для x₁ следует, что в качестве аппроксимирующей ее функции можно взять функцию (8), например, учитывая ее свойства, со следующими приближенными параметрами: R = 5 и N = -5. Зависимость Ц от x₂ можно аппроксимировать функцией , с b = 1. Зависимость Ц от x₃ - бинарной функцией f₃(x₃) = x₃, принимающей лишь два значения - 1 и 0.

После расчета значений новых z-переменных получим таблицу данных для расчета коэффициентов уравнения (16) (см. табл.).

Таблица. Числовые значения z-переменных.

Аналоги	z₁	z₂	z₃	Ц
А₁	0,9990	0,0030	1	145
А₂	0,9984	0,0029	1	140
А₃	0,9692	0,0025	1	139
А₄	0,9485	0,0022	1	135
А₅	0,9090	0,0020	1	132
А₆	0,3679	0,0010	0	100
А₇	0,0473	0,0009	0	90
А₈	0,0000	0,0005	0	85

С помощью функции MS Excel "Регрессия" получим оценки коэффициентов уравнения (16).

Таблице соответствует следующее эмпирическое уравнение регрессии:

В таблице представлен расчет удельных стоимостей аналогов по модели (17).

Таблица. Результаты оценки удельных стоимостей аналогов.

Аналоги	z₁	z₂	z₃	Удельная стоимость, тыс. р. за сотку	Удельная цена, тыс. р. за сотку	Ошибка аппроксимации, %
А₁	0,999	0,003	1	143,67	145	0,92
А₂	0,998	0,003	1	142,12	140	1,51
А₃	0,969	0,003	1	138,13	139	0,62
А₄	0,948	0,002	1	135,09	135	0,06
А₅	0,909	0,002	1	132,00	132	0,00
А₆	0,368	0,001	0	99,94	100	0,06
А₇	0,047	0,001	0	90,01	90	0,01
А₈	0,000	0,001	0	85,05	85	0,06

Несмотря на высокое значение коэффициента детерминации и невысокие значения ошибки аппроксимации, уравнение (17) нельзя признать удовлетворительным, так как последний коэффициент не удовлетворяет критериям статистической значимости (см. выделенную строку и P-значение = 11,7% в таблице 6) - вероятность ошибки второго рода (принять за достоверный недостоверный результат оценки) больше допустимой (5%). Очевидно, причина кроется в значениях параметров функций аппроксимации f(x): R₁, N₁. Их необходимо откорректировать, например посредством минимизации суммы квадратов отклонений удельных цен аналогов и их стоимостей, полученных по модели. В таблице 8 представлены начальные значения параметров функций аппроксимаций и значения параметров этих функций после корректировки.

Таблица. Параметры функции аппроксимации f₁(x₁).

Параметр

Начальное

Значение

Значение после корректировок

R₁

4,7189

N₁

-5

-7,7926

Примечание: корректировки выполнялись с использованием программы MS Excel "Поиск решения".

В таблице представлены результаты регрессионного анализа с использованием откорректированных значений функции аппроксимации f₁(x₁).

Таблица 9. Результаты регрессионного анализа, представленные в формате MS Excel

	Регрессионная статистика
	Множественный R			0,9993
	R-квадрат			0,9985
	Нормированный R-квадрат			0,9974
	Стандартная ошибка			1,2495
	Наблюдения			8,0000
	Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F		Значимость F
Регрессия	3,0000	4 269,2549	1 423,0850	911,4904		0,0000
Остаток	4,0000	6,2451	1,5613
Итого	7,0000	4 275,5000
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика		P-значение		Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	79,5228	1,3146	60,4898		0,0000		75,8727	83,1728
Переменная x₁	17,9605	3,1049	5,7845		0,0044		9,3398	26,5811
Переменная x₂	10 981,4615	1 398,9405	7,8498		0,0014		7 097,3801	14 865,5429
Переменная x₃	13,1143	3,0554	4,2922		0,0127		4,6313	21,5974

Таблице соответствует следующее эмпирическое уравнение регрессии.

Из данных, представленных в таблице 9, следует, что полученные коэффициенты уравнения (18) статистически значимы (все значения в столбце "P-значение" меньше 5 процентов), а само уравнение объясняет изменение цены под влиянием включенных в модель ценообразующих факторов.

Объекту оценки соответствуют следующие значения исходных x-переменных: x₁ = 6; x₂ = 550; x₃ = 1. Рассчитаем значения новых z-переменных для объекта оценки.

z₁ = exp[-(6 / 4,7189)^-7,79] = 0,8574; z₂ = 1 / 550 = 0,0018; z₃ = 1.

Подставив эти значения в уравнение (18), получим оценку удельной стоимости объекта оценки.

В целом же оцениваемый участок будет стоить.

Выполним оценку нашего объекта, используя мультипликативную регрессионную модель.

Оценка объекта с использованием нелинейной мультипликативной регрессионной модели

Нелинейную внутренне линейную по коэффициентам мультипликативную регрессионную модель для нашей задачи можно записать.

После логарифмирования получим

Модель (20) является нелинейной по переменным, но линейной по логарифмам коэффициентов. После замены переменных на z_i = f_i(x_i) при i = 1... 3 получим линейную модель вида.

Построим диаграммы рассеивания логарифма цены InЦ(x_i) для независимых переменных x₁ и x₂.

Из анализа точек диаграмм следует, что в качестве функций аппроксимации нелинейностей можно взять те же функции с теми же стартовыми значениями неопределенных параметров:

f₁(x₁) = exp[-(x / R)^N]; f₃(x₃) = x₃; R = 5; N = -5; b = 1.

Воспользуемся функцией MS Excel "Регрессия" и получим оценки коэффициентов этого уравнения.

Несмотря на очень высокий коэффициент детерминации, статистика третьего коэффициента явно не удовлетворяет требованиям (см. в таблице 10 выделенную строку и P-значение, которое гораздо больше допустимых 5 процентов). Здесь так же, как и в случае с аддитивной моделью, необходимо выполнить подбор параметров R, N и b посредством минимизации суммы квадратов отклонений удельных цен аналогов и их стоимостей, полученных по модели (21) (см. табл. 11).

Таблица. Параметры функции аппроксимации f₁(x₁).

Параметр	Начальное значение	Значение после корректировок
R₁	5	4,7
N₁	-5	-4,821

Примечание: корректировки выполнялись с использованием программы MS Excel "Поиск решения".

В таблице представлены статистики после корректировки параметров функций аппроксимации.

Таблица. Результаты регрессионного анализа, представленные в формате MS Excel

	Регрессионная статистика
	Множественный R			0,9995
	R-квадрат			0,9989
	Нормированный R-квадрат			0,9982
	Стандартная ошибка			0,0094
	Наблюдения			8
	Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F		Значимость F
Регрессия	3	0,3371	0,1124	1 265,8065		2,07528E-06
Остаток	4	0,0004	0,0001
Итого	7	0,3375
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика		P-значение		Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	4,4118	0,0099	446,8431		0,0000		4,3844	4,4392
Переменная x₁	0,2749	0,0299	9,1916		0,0778		0,1918	0,3579
Переменная x₂	0,0623	11,4070	5,4653		0,5451		30,6719	94,0138
Переменная x₃	0,0923	0,0233	3,9655		1,6602		0,0277	0,1569

Из данных, представленных в таблице 12, следует, что полученные коэффициенты уравнения (21) статистически значимы (все значения в столбце "P-значение" меньше 5 процентов), а само уравнение объясняет изменение цены под влиянием включенных в модель ценообразующих факторов.

После подстановки значений логарифмов коэффициентов в уравнение (21) получим эмпирическое регрессионное уравнение относительно логарифма стоимости.

InV = 4,41178 + z₁ x 0,2749 + z₂ x 0,0623 + z₃ x 0,0923.

После потенцирования значений коэффициентов получим регрессионную модель относительно стоимости.

Объекту оценки соответствуют следующие значения исходных x-переменных: x₁ = 6; x₂ = 550; x₃ = 1.

Рассчитаем значения новых z-переменных для объекта оценки:

z₁ = exp[-(6 / 4,7)^-4,82] = 0,7348; z₂ = 1 / 550 = 0,0018; z₃ = 1.

Подставив эти значения в уравнение (22), получим оценку удельной стоимости объекта оценки.

Следовательно, оцениваемый участок будет стоить.

Заключение

Рассмотрен способ учета нелинейных связей при создании регрессионных моделей для индивидуальной и массовой оценок стоимости объектов недвижимости.

Способ основан на визуальном анализе и подборе аналитической функции, способной обеспечить аппроксимацию реальной нелинейной зависимости зависимой переменной от каждой из независимых.

Анализ рыночных тенденций и форм связи цен и ценообразующих факторов свидетельствует об их ограниченном количестве. По виду они очень похожи на сигмовидные или логит-функции и достаточно легко поддаются аппроксимации известными аналитическими функциями. Практика показывает, что при отсутствии подходящей аналитической функции ее можно сконструировать посредством визуального анализа точек на диаграмме рассеивания.

Написать нам...