Составные сети Петри-Маркова на основе марковских процессов с предикатными условиями выполнения
Условия срабатывания логических переходов в сети Петри-Маркова могут формально вводиться не только с использованием аппарата пропозициональной логики, но с использованием операций с предикатами второго порядка [55, 56]. Если обозначить позиции и переходы СПМ через х, и ху, то бинарный предикат, отражающий условие выполнения действия между этими элементами, обозначается как R^x^x^.
В практике моделирования процессов реализации угроз могут найти применение следующие операции с предикатами:
—»{R(х .х;). А’ (х;. ) j - операция последовательного выполнения или импликации (в общем случае взаимосвязанных действий по разным ветвям сети операция импликации может иметь вид —> {/?(х;,ху.),/?(хк,х.)});
—> (R(xj,xJ),R°( хк, х2)) - операция «отрицательной импликации», когда действия между элементами СПМ х, и х;. происходят, а между хк и xt - нет;
XOR(R(xt., Xj), R(xk, хг)) = R(xt, ) Ѳ R(xk, xz) - операция эксклюзивного выбора (знак «XOR», исключающее «ИЛИ», при этом возможно (і=1-);
OR(R(xi,xJ),R(xlc,xz)) = R{x.,Xj)vR{xk,x:) _ операция неэксклюзивного выбора (знак «OR» - логическая операция «ИЛИ», при этом возможно і = £);
AND(R(xt, Xj ), R(xk, x.)) = R(xt ,ху) л R(xk, x.) - операция
параллельного выполнения (знак «AND» - логическая операция «И», при этом возможно і = к)\
П(і?(х,., Xj ), R(xk ,x.),nn) - операция цикла (знак « Q ») с повторением nQ раз (при этом возможно і = к) или для связанных операций
Q {[RUx.xx), па ] л [R(xt ,*),(»,,-1)]}.
Краткое описание предикатных операций применительно к СПМ и их соответствие логическим переходам приведено.
Следует отметить, что если операции «отрицательной импликации», «эксклюзивного выбора», «неэксклюзивного выбора» и параллельного выполнения (операция AND) соответствуют ранее рассмотренным логикам срабатывания переходов СПМ, то существенно отличающимися являются операции импликации и цикла, для которых требуются пояснения.
Пусть в СПМ имеется предикатная операция импликации, определяющая следующее правило срабатывания одного из переходов: процесс должен подойти к переходу за время t сначала по первой, а затем по второй дуге.
Если вероятности перемещения процесса по первой и второй дугам равны соответственно P^t) и P2(t), а вероятность того, что по второй дуге процесс придет позже, чем по первой - P(tl<t2), где ( и ( — случайные времена подхода процесса к переходу по первой и второй дуге соответственно, то это соответствует предикатной операции «импликация» (см. таблица 6.8).
В отличие от логики «И-НЕ» переход срабатывает, когда по второй дуге процесс тоже подойдет к переходу, но позже, чем по первой дуге (при логике «И-НЕ» переход сработает, когда по второй дуге процесс вообще не подойдет к переходу).
Тогда математическое ожидание времени срабатывания перехода может быть определено путем расчета математического ожидания паузы между событиями потока, полученного путем прореживания с вероятностью P(tx < t2) потока, соответствующего логике срабатывания «И», то есть в соответствии с теорией прореживания рекуррентных потоков следующим образом:
— г, +уг2+г2 {rx+z2)-p{t1<г2)' (6.23)
Вероятность того, что при каждом подходе процесса к переходу по обеим дугам будет выполняться неравенство tx<t2, рассчитывается по формуле
P(t1<t2) = Y[f2(y + T)-f2(y)-dT-dy==^=. (6.24) > > т 4-Т П П *4 ' *"?
В результате Ъ +уг2 + г,2 Г2 (6.25)
Длительность операции цикла определяется суммарным временем перемещения процесса к переходу и от перехода к инцидентной позиции при выполнении цикла п раз.
Приведенные соотношения для среднего времени срабатывания переходов в соответствии с операциями над предикатами второго порядка позволяют существенно расширить возможности моделирования процессов реализации угроз безопасности информации с использованием СПМ на основе составных марковских процессов.
Основные предикатные операции в сети Петри-Маркова
Наименование предикатной операции
Графическое представление предикатной операции
Условия срабатывания перехода
Соотношение для расчета математического ожидания времени срабатывания перехода при экспоненциальных распр еделениях
Импликация ^{K<l,l(z)),R(2,l(z))}
Переход 1 (z) срабатывает, если сначала состоялось перемещение процесса по дуге (1,1 (z)), а затем по дуге (2,l(z)) со средними
Условие в виде пропозициональной логики отсутствует.
Отрицательная импликация
Переход l(z) срабатывает, если состоялось перемещение процесса по дуге (l(a),l(z)) и не произошло по дуге (2(a), 1 (z)) со средними временами перемещения г, и г2
Соответствует условию «И-НЕ» (см. таблицу 6.2). -И)
Эксклюзивный выбор («XOR»)
.<*(i,i(z)),w:2,i(z))H ЯД, l(z)) Ѳ Д2 ,l(z)) I
Переход l(z) срабатывает, если состоялось перемещение процесса или только по дуге (1,1 (z)), или только по дуге (2,l(z)) со средними временами перемещения г, и г2
Соответствует условию «XOR» т,+т2 2 тхс
Неэксклюзивный выбор («OR»)
Переход l(z) срабатывает, если состоялось перемещение процесса хотя бы по одной из дут (1,1 (z)) или (2,l(z)) со средними временами перемещения и т2
Соответствует условию «ИЛИ» (см. таблицу 6.2) z0R - _1
Параллельное выполнение («AND»)
Операция цикла по одной дуге (U(z)),2?(2,l(z))}E >)Ag(2,Urn___
Переход l(z) срабатывает, если состоялось перемещение процесса и по дуге (l,l(z)), и по дуге (2,l(z)) со средними временами перемещения Г; и т2
Соответствует условию «И» — _ Т, +т, -т2 + т2 Sn(2)(*(l,l(z)),*(2,l(z)),«). = Л(1,1(г))д[Л(2,1(г))]*
Переход l(z) срабатывает, если состоялось перемещение по дуге из позиции 1(a) в переход 1 (z) и п раз перемещение процесса из позиции 2(a) в переход l(z) и обратно со средними временами перемещения г, и г2 . Примечание: обозначение £2(2) означает, что операция цикла применяется к дуге, ис- ходящей из второй позиции
Условие в виде пропозициональной логики отсутствует.
ь ѵ. • г, п + г,
Операция цикла по двум дугам
£0{/?(U(z))./?(2.1(z).b}- - [.Ч0,1(г))лЯ(2,1(г)))'
Переход l(z) срабатывает, если состоялось и раз перемещение процесса по обеим дугам из позиции 1(a) в переход 1 (z) и перемещение из позиции 2(a) в переход l(z) и обратно гг -1 раз со средними временами перемещения т. и г,
Условие в виде пропозициональной логики отсутствует.
—2--------—2 — г, +г. - г, + г.
